國重室地球物理與內部動力學研究團隊與美國學者合作，在地震形變理論計算方法方面取得重要進展。該研究提出了求解地球變形的變系數微分方程組邊值問題的近似解析解方法，可計算任意球諧階數的位錯勒夫數，徹底解決了位錯格林函數的收斂問題。

　　“勒夫數”是英國科學家勒夫（Love, A. E. H.）在研究地球的潮汐變形時定義的用來描述地球受引潮力作用而變形的兩個無量綱的量，用 h 和 k 表示，分別描述對應于某球諧展開階數的垂直位移與平衡潮潮高的比值和附加引力位與天體對地球引潮位的比值，后由日本科學家志田（Shida, T.）定義了l用來描述水平位移與平衡潮水平分量的比值，這三個比值一般統稱為勒夫數，其中l也稱為志田數。后來在研究地球受表面負載作用的變形也采用類似的三個無量綱的數，稱為“負荷勒夫數”；研究地球受點源位錯（地震）作用而變形時也有類似的三個“位錯勒夫數”。勒夫數反映了地球對作用力的響應程度，其數值大小取決于地球介質特性，數值越大，說明單位力作用下的變形量越大。

　　通常，計算勒夫數的過程就是求解一個變系數的微分方程組的邊值問題。除了少數幾個簡單的地球模型存在解析解之外，傳統的計算勒夫數的方法主要是四階龍格—庫塔（Runge-Kutta）數值積分方法。在該方法中，需要積分步長足夠小以便每一層的各個地球模型參數可以合理地假設為常數。該團隊的研究表明，龍格—庫塔方法的積分步長不能超過500m，對于球諧階數很大的情形，這個步長需要取得更小。這樣就需要將地球分成非常多的層數，從而計算速度較慢。特別地，當球諧階數很大時，各變量之間的相關性將導致最后組成的求解勒夫數的矩陣奇異，因此特別高階的勒夫數采用龍格—庫塔數值積分方法是算不出來的。

　　該團隊發展了一個近似的解析方法，同樣將地球分層，但層厚最大可以達到100km。根據地球介質參數的分布特征，對每一層作一些近似，在地核中假設密度為常數，重力是球矢徑的線性函數；在地幔和地殼中，重力是常數而密度是球矢徑的反函數。通過比較原模型發現，基于這些假設所建立的新模型與原模型的差異非常小，對數值計算結果的影響完全可以忽略，因此這種假設是合理的，并且可以根據計算精度要求減小層厚使得二者之間的差異更小。這樣，通過一個變量代換，能夠使得原本的變系數的微分方程組變成常系數的微分方程組，從而存在解析解。該解析解由系數矩陣的特征值和特征向量表示。同時，該團隊介紹了一種新的矩陣傳播方法使得傳播穩定高效，避免了當球諧階數很高時，矩陣的特征值較大，從而普通的矩陣傳播方法產生的溢出和誤差放大導致的不穩定問題。這樣，可以計算任意球諧階數的勒夫數，從而為構造收斂的格林函數奠定了基礎。

　　在球坐標系統下，格林函數是包含球函數級數的無窮項的和。對于計算點與源點距離較近的情形，由于級數的收斂非常慢，計算格林函數需要超高階的位錯勒夫數。如果直接計算超高階位錯勒夫數并進行級數求和進而獲得格林函數，將使計算工作耗時而效率低下，因此需要求助加速級數收斂的特殊計算技巧，以便提高計算效率與精度。庫瑪（Kummer）變換是常用的加速格林函數收斂的技術手段，但是由于以往沒有位錯勒夫數的漸近值，在計算位錯格林函數時庫瑪變換無法實施。特別對于震源較淺（甚至接近地表）的地震，如何準確模擬地表的形變是一個非常困難的問題。由于成功計算了超高階的位錯勒夫數，因此可以擬合出其漸近值，這樣就使得庫瑪變換能夠付諸實施，從而成功解決了格林函數的收斂問題。通過計算發現，只需要較低階的位錯勒夫數，再結合擬合出的漸近值就可以確保位錯格林函數的收斂，這大大增強了計算位錯格林函數的效率。另一方面，通過分析傳播矩陣的特征，也從理論上獲得了位錯勒夫數的精確漸近值。因此，該團隊的研究成果可有效解決特殊情形下（如斷層延續到地表、淺源爆炸等）的格林函數收斂的計算問題。。

　　與大地測量學家關注地表的變形不同，地震學家更加關注地震后地球內部的變形特征如何，如地震后斷層周邊的應力場如何變化。因此，該團隊研究了地震引起的地球內部的變形特征。分析了點源位錯引起的地球內部位移場、重力場和應變場的變化，構建了斷層附近，甚至是斷層面上的收斂的格林函數。一方面驗證了所提出的解析解方法可以有效應用于地球內部的變形特征研究，另一方面也為在球形地球框架下研究地震應力傳輸與觸發問題創造了條件。

　　相關研究成果以系列文章的形式發表在國際地球物理期刊Geophysical Journal International。研究員周江存為文章第一作者。

　　該研究得到國家自然科學基金和中國科學院戰略性先導科技專項的聯合資助。

　　論文鏈接：

　　https://academic.oup.com/gji/article-abstract/217/3/1681/5366737?redirectedFrom=fulltext

　　https://academic.oup.com/gji/article-abstract/219/3/1717/5556533?redirectedFrom=fulltext

　　https://academic.oup.com/gji/article-abstract/223/1/420/5863950?redirectedFrom=fulltext

　　https://academic.oup.com/gji/advance-article-abstract/doi/10.1093/gji/ggaa612/6054539?redirectedFrom=fulltext

 

圖1. 高階地表位錯Love數與漸近值擬合（震源深度100 km）. 當震源深度為100 km時，盡管計算地表位錯格林函數不需要特別高階的位錯勒夫數，但是通過計算高階位錯勒夫數，可以發現其相對于球諧階數n的變化規律，由此可以很容易地擬合出當n趨于無窮大時的位錯勒夫數漸近值，從而可以實施Kummer變換以加速格林函數的收斂。

圖2. 利用位錯勒夫數漸近值加速格林函數收斂（震源深度10 km）. 從圖中可看出，不用漸近值加速時，計算收斂的格林函數需要20000階的位錯勒夫數，如果只計算到3000階，格林函數存在明顯的震蕩導致的不收斂。采用漸近值加速后，計算到3000階的位錯勒夫數即可得到收斂的結果，甚至只需要1000階位錯勒夫數就能得到比較滿意的結果。